از اواخر قرن هجدهم و اوایل قرن نوزدهم بهعنوان سالهای طلایی در ریاضیات نام میبرند. علت این شهرت، زندگی یکی از بزرگترین ریاضیدانان در این دوره بود. کارل فردریش گاوس را یکی از تأثیرگذارترین ریاضیدانان تاریخ میدانند. او از هندسه و جبر، تا آنالیز و ترکیبات و حتی نظریه اعداد و ریاضیات کاربردی استاد بود. ایدههای درخشان گاوس در حل مسائل باعث شده که امروزه لمها، قضایا و فضاهای مختلفی در ریاضیات با نام او گره خورده باشد. متأسفانه، گاوس در طول حیات خود از ریاضیدانان بسیاری حمایت و پشتیبانی نکرد، اما برنارد ریمان یکی از استثناها بود. هرچند ریمان ریاضیدان تمامعیاری بود و در آنالیز حقیقی، آنالیز فوریه، نظریه اعداد و نظریه انتگرالها آثار متنوعی داشت، اما او را برای توسعه مفاهیم هندسه میشناسند. دستاوردهای او که امروزه معمولاً با عنوان «هندسه ریمانی» شناخته میشود، ریاضیات را تا مرزهای جنونآمیزی از تجرد پیش برد. اهمیت این دستاوردها سالها پس از درگذشت ریمان و زمانی که اینیشتین، فیزیکدان هموطن او، نظریه نسبیت عام را ارائه کرد، بر همگان روشن شد. درس هندسه ریمانی را میتوان با رویکردهای مختلفی مطالعه کرد. درس حاضر به مطالعه خواص سرتاسری در هندسه ریمان، که تعمیم گستردهای از هندسه دیفرانسیل است، میپردازد. در هندسه دیفرانسیل کلاسیک، فرمولهای انتگرال از زمان تلاش گاوس در تعمیم خواص سرتاسری هندسه دیفرانسیل، بسیار گسترش یافت. در هندسه ریمانی، توسعه فرمولهای انتگرال به حدود پنجاه سال پیش و کارهای ریاضیدانانی چون بوچنر، چرن، هاگ، توماس و دیگران باز میگردد و خیلی زود به ابزاری قدرتمند برای مطالعه خواص سرتاسری در هندسه ریمان تبدیل شد. در این آموزش، پس از بیان مفصل ساختارهای یک منیفلد ریمانی به بیان آنالیز میدانهای برداری و خواص وابسته به متر روی منیفلدهای ریمانی خواهیم پرداخت. علاوه بر اینکه درس هندسه ریمانی میتواند برای دانشجویان کارشناسی ارشد ریاضی، دانشجویان دوره دکتری ریاضی و البته برای دانشجویان فیزیکی که به پژوهش در حوزه نسبیت و نجوم میپردازند، مفید باشد، مطالعه منیفلدهای ریمانی و خواص وابسته به متر روی آنها به علت کاربردهای فراوان آنها به حوزهای از موارد پژوهشی فعال تبدیل شده است.
