اثبات قضیه مقدار میانگین + مثالهای کاربردی (فیلم آموزش رایگان)
0 ساعت
0.0
قضیه مقدار میانگین یکی از قضایای مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که به ما کمک میکند رابطه بین شیب خط متصلکننده دو نقطه از یک تابع و شیب خط مماس در یک نقطه از آن تابع را درک کنیم. این قضیه بیان میکند که اگر یک تابع در بازهای پیوسته و درون آن بازه مشتقپذیر باشد، نقطهای در داخل بازه وجود دارد که شیب خط مماس بر منحنی تابع در آن نقطه، دقیقا با شیب خط متصلکننده نقاط ابتدا و انتهای بازه (خط وتر) برابر است. به زبان ساده، اگر منحنی یک تابع را در بازهای در نظر بگیریم، خطی که دو نقطه از منحنی را به هم متصل میکند، یک شیب مشخص دارد. طبق قضیه مقدار میانگین، حداقل یک نقطه در میانه بازه وجود دارد که در آن شیب خط مماس بر منحنی با همان شیب خط متصلکننده برابر خواهد بود. برای درک این قضیه، فرض کنید یک تابع در بازهای رفتار مناسبی دارد، یعنی پیوسته است و در همه نقاط بازه مشتقپذیر است. حالا اگر منحنی تابع را در نظر بگیرید و دو نقطه در ابتدا و انتهای بازه را به هم وصل کنید، خطی بین این دو نقطه رسم میشود که به آن خط وتر میگوییم. حال باید بررسی کنیم که آیا نقطهای در میانه بازه وجود دارد که شیب خط مماس بر منحنی تابع دقیقا مشابه شیب خط وتر باشد؟ برای اثبات، از یک روش ساده استفاده میکنیم. میتوانیم یک تابع کمکی تعریف کنیم که رفتار مشابه تابع اولیه دارد و ویژگیهای مورد نیاز ما را تامین میکند. اگر این تابع کمکی شرایط قضیه رول (پیوستگی، مشتقپذیری و برابر بودن مقادیر ابتدا و انتهای بازه) را داشته باشد، میتوانیم طبق قضیه رول نتیجه بگیریم که در نقطهای از بازه، مشتق تابع برابر با شیب خط وتر میشود. در نتیجه، نقطهای در بازه وجود دارد که شیب خط مماس بر منحنی تابع با شیب خط وتر برابر است و به این ترتیب، قضیه مقدار میانگین اثبات میشود. در این فرادرس چه چیزی یاد میگیریم؟ در این آموزش، ابتدا با مفهوم قضیه مقدار میانگین آشنا میشویم و یاد میگیریم که چگونه این قضیه رفتار شیب خط مماس و شیب خط وتر را در یک بازه مشخص مرتبط میکند، سپس با بیانی ساده توضیح میدهیم که چرا میتوان نقطهای در بازه یافت که شیب خط مماس بر منحنی تابع در آن نقطه با شیب خط وتر برابر باشد. در پایان، با استفاده از استدلال منطقی و شرایط تابع، نتیجه میگیریم که این قضیه در هر تابع پیوسته و مشتقپذیر برقرار خواهد بود.
